El Oscilador de van der Pol
La ecuación de van der Pol describe el comportamiento de circuitos electrónicos no lineales como los que fueron usados en los primeros aparatos de radio. Este tipo de circuito se usaba en los días de los tubos de vacío. Los tubos actúan como una resistencia normal cuando la corriente es elevada, y como una resistencia "negativa" cuando la corriente es baja. Por tanto un circuito de este tipo favorece las oscilaciones pequeñas y amortigua las grandes oscilaciones. Este tipo de comportamiento se conoce como oscilaciones de relajación. La ecuación que describe este sistema es:
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Epsilon es una constante que mide la no linealidad del sistema. Para epsilon igual a 0, el sistema es un oscilador lineal armónico (péndulo simple). A medida que epsilon crece, el sistema se hace más no lineal. La siguiente gráfica muestra la evolución temporal de x para un valor de epsilon igual a 10. El eje horizontal es el tiempo, y en el vertical se representa x.
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Las oscilaciones del sistema tienen un periodo del orden de dos veces el valor de epsilon, como se puede ver en el ejemplo anterior, donde el ciclo se repite cada 20 unidades de tiempo aproximadamente.
Una manera alternativa de representar la dinámica del sistema es mediante el concepto de espacio de fases. En nuestro caso, el espacio de fases es el espacio bidimensional formado por la posicion x y su derivada temporal. Podemos representar el estado del sistema en cada instante como un punto en el espacio de fases. A medida que el sistema evoluciona en el tiempo, el sistema describe una órbita en dicho espacio. Si el comportamiento del sistema tiende a un valor estacionario fijo, la trajectoria en el espacio de fases acaba en un punto. Si el sistema tiende a un estado periódico, la trajectoria acaba siendo una órbita cerrada. El siguiente applet representa las posibles trayectorias del oscilador de van der Pol en el espacio de fases. El eje horizontal corresponde a x y el vertical a su derivada. El origen de coordenadas se encuentra en el centro de la imagen. Puede comprobar que para epsilon igual a 0, la trayectoria en el espacio de las fases es una elipse, como corresponde a un oscilador armónico simple. Para epsilon diferente de 0, la orbita se deforma, pero continua siendo cerrada. Eso quiere decir que el sistema es periódico (ver gráfica anterior), y la órbita recibe el nombre de ciclo límite estable.
Las oscilaciones del sistema son muy estables para valores grandes de epsilon. Puede observar como la órbita tiende rápidamente al ciclo límite desde las condiciones iniciales x=1 y dx/dt=0. A medida que epsilon disminuye, la estabilidad del sistema disminuye también. Cuando epsilon se hace negativo, el ciclo límite se vuelve inestable.
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Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab
Autor de la versión original: Blair D. Fraser
Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo