Comportamiento Caótico


Cuando la amplitud del término de forzamiento aumenta suficientemente (0.4 en el siguiente applet), el sistema pierde su comportamiento periódico, tanto a tiempos cortos como a tiempos largos.

Aunque el sistema ha perdido todo su comportamiento periódico, el movimiento sigue estando acotado en el espacio. Este movimiento no diverge cuando el tiempo tiende a infinito, pero tampoco se repite nunca a sí mismo. Este comportamiento se denomina caótico, y el atractor de esta dinámica es un atractor extraño. A continuación mostramos el comportamiento en el tiempo de la posición y velocidad del sistema.

Position vs. Time Plot

chaotic position vs time plot for double well oscillator

Velocity vs. Time Plot

chaotic velocity vs time plot for double well oscillator

Como se puede comprobar en las gráficas anteriores, el movimiento del sistema es aperiódico, nunca se repite a sí mismo. Experimentando con el applet anterior, podrá observar otros comportamientos interesantes. Así, puede comprobar que condiciones iniciales muy próximas entre sí pueden producir comportamiento a largo plazo muy diferente. Esto se conoce como 'dependencia sensible de las condiciones iniciales', y es una característica típica de los sistemas caóticos.

Existe otra manera de analizar la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Para ello escogemos un conjunto de 40000 condiciones iniciales cercanas entre sí, dejamos al sistema evolucionar y observamos su estado tras un cierto tiempo. El conjunto de condiciones iniciales que utilizaremos como ejemplo está representado en la siguiente proyección bidimensional del espacio de fases.

points after 0 drive cycles

A continuación integramos numéricamente la ecuación de Duffing y representamos el estado del sistema a intervalos fijos de tiempo. En nuestro ejemplo tomamos como referencia un periodo del término sinusoidal de forzamiento. Las siguientes gráficas muestran el estado del sistema para las diferentes condiciones iniciales después de 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 y 4.0 periodos de forzamiento.

points after 0.5 drive cycles points after 1 drive cycle
points after 1.5 drive cycles points after 2 drive cycles
points after 2.5 drive cycles points after 3 drive cycles
points after 3.5 drive cycles points after 4 drive cycles

Como puede observarse, después de transcurridos tan sólo 4 periodos, los puntos estan tan repartidos por el espacio de fases que sería imposible determinar de qué condición inicial proviene un punto dado. Sin embargo, parece que existe un poco de orden en el sistema, puesto que se forma una figura con una forma especial. Esta misma forma aparece sea cual sea el conjunto de condiciones iniciales que se escojan. En la próxima sección volveremos a ver este objeto, creado en aquel caso mediante un proceso diferente. La siguiente gráfica muestra la misma figura después de 25 periodos de forzamiento.

points after 25 drive cycles


Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab

Autor de la versión original: Blair D. Fraser

Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo