Sistemas Continuos


Estas páginas se centran en el estudio de los llamados sistemas continuos. Son un poco más difíciles de tratar matemáticamente que los sistemas discretos, pero basta con una introducción básica a las ecuaciones diferenciales ordinarias para entenderlos. Esta sección constituye tal introducción.

Los sistemas que se estudiaron en la sección anterior eran discretos en su evolución temporal, sólo avanzaban cuando apretábamos el botón de la calculadora, o cuando el applet java calculaba el valor siguiente de la variable. Los sistemas continuos, en cambio, evolucionan de forma continua. Este tipo de evolución se describe mediante una ecuación diferencial. Una ejemplo muy simple de ecuación diferencial que describe un proceso físico es la que siguen los procesos de desintegración radiactiva:

dx/dt=kx

La solución de esta ecuación es

x=e^kx

como puede comprobarse derivando esta expresión respecto a x y sustituyendo el resultado en la ecuación diferencial anterior. Otras ecuaciones diferenciales describen oscilaciones simples, flujo de calor, esfuerzo en metales, e incontables procesos más. Muchas de estas ecuaciones diferenciales son lineales. Una ecuación diferencial lineal tiene la forma general

x=e^kx

Una ecuación diferencial lineal como la anterior se puede resolver frecuentemente mediante técnicas matemáticas convencionales. Las ecuaciones lineales han servido como modelos muy buenos de muchos sistemas físicos, y como buenas aproximaciones de otros. Sin embargo, muchos sistemas estan muy lejos de ser lineales, en cuyo caso no se pueden aplicar modelos tan simples. Un ejemplo sencillo de uno de estos sistemas (que analizaremos con más detalle en la sección siguiente) es el modelo de un péndulo que oscila libremente en un plano vertical, pudiendo incluso girar sobre sí mismo. La ecuación diferencial que determina el comportamiento de dicho sistema es:

d^2theta/dt^2 + b*dtheta/dt + sin(theta) = 0

Esta es una ecuación diferencial para theta, donde theta es el ángulo que forma el péndulo con la vertical. Es una ecuación no lineal porque sin(theta) es una función no lineal de su argumento. Si el ángulo theta es pequeño, entonces sin(theta) puede aproximarse por theta, y la ecuación pasa a ser lineal (este el conocido modelo del péndulo simple, que sigue un movimiento armónico simple). En nuestro caso, como no queremos imponer valores pequeños del ángulo, el modelo es no lineal.

En general, las ecuaciones diferenciales no lineales no se pueden resolver mediante técnicas matemáticas analíticas, por lo que la ecuación se ha de integrar numéricamente mediante un ordenador para encontrar una solución aproximada. El principal problema entonces es encontrar un algoritmo que aproxime bien la solución pero que sea a la vez rápido de realizar por nuestro ordenador.

Esta ha sido una introducción muy breve a las ecuaciones diferenciales, pero en principio ha de ser suficiente para empezar a entender los comportamientos que se describirán en las secciones siguientes.


Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab

Autor de la versión original: Blair D. Fraser

Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo