El Péndulo


El péndulo es probablemente el sistema dinámico más estudiado en la historia de la ciencia. En los cursos de física elemental, el péndulo se aproxima por una ecuación lineal simple, que sólo es válida para pequeñas amplitudes de oscilación. En el presente estudio no haremos esta aproximación, sino que permitiremos que el péndulo puede llegar incluso a dar vueltas completas sobre sí mismo. En ese caso es muy fácil comprobar, mediante las leyes básicas de la mecánica newtoniana, que la ecuación exacta que rige el movimiento del péndulo es:

d^2theta/dt^2 + b*dtheta/dt + sin(theta) = 0

En esta ecuación, theta es la posición angular del péndulo respecto a la vertical, medida en radianes. Se ha considerado también un término de amortiguamiento proporcional a la velocidad, siendo b la constante de amortiguamiento del sistema. Este sistema tiene dos puntos fijos, uno estable y el otro inestable. El punto fijo estable se tiene para una posición 0 y una velocidad 0, y corresponde a un péndulo colgando verticalmente hacia abajo y en reposo. Es punto fijo inestable se tiene para una posición 3.1416 y una velocidad 0, y corresponde a un péndulo colgado "hacia arriba". Esta situación es muy inestable, especialmente si el amortiguamiento es pequeño.

Si el término de amortiguamiento b es igual a 0, el sistema es conservativo. Esto quiere decir que no se pierde energía en la trayectoria, y hace que el comportamiento del sistema sea periódico. La solución de la ecuación anterior es una oscilación, pero no una oscilación lineal. Por ello, a diferencia del comportamiento de un péndulo simple, en este caso el periodo no es independiente de la amplitud. En la aproximación lineal el periodo siempre es el mismo, sea cual sea el valor de la amplitud de las oscilaciones. Esta es una aproximación válida en muchos casos, pero como es bien sabido, no es cierta para oscilaciones grandes. En definitiva, el péndulo es un sistema no lineal bastante simple, pero no es fácil de resolver.

Un sistema derivado del anterior y que tiene también mucho interés es el péndulo amortiguado y forzado. En este caso, añadimos al modelo anterior un término que da cuenta de una fuerza periódica que actúa sobre el péndulo mientras este realiza su movimiento oscilatorio. Llamando F a la amplitud de la fuerza periódica, que supondremos sinusoidal, y omega a su frecuencia, la ecuación que gobierna el comportamiento de este sistema es:

d^2theta/dt^2 + b*dtheta/dt + sin(theta) = Fcos(w*t)

Esta ecuación, en la suposición de oscilaciones de pequeña amplitud, es una ecuación lineal, y como tal se estudia en los cursos elementales de física, donde se observa que presenta comportamientos interesantes tales como fenómenos de resonancia. La versión no lineal, sin embargo, tiene un comportamiento mucho más rico, dando lugar a movimiento periódico para muchos valores de los parámetros, pero caótico para otros. El siguiente applet java simula el comportamiento de un péndulo amortiguado y forzado. Un barra en la parte inferior del applet muestra el término de forzamiento, verde cuando la fuerza es positiva (hacia la derecha) y rojo cuando la fuerza es negativa (hacia la izquierda). En este applet puede comprobarse todo lo que ha sido expuesto en esta página: el comportamiento de un péndulo lineal simple (para b=F=0, y oscilaciones pequeñas), de un péndulo no lineal sin y con amortiguamiento, y de un péndulo forzado y amortiguado. Le recomendamos que experimente con el applet todos estos casos.


Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab

Autor de la versión original: Blair D. Fraser

Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo