Orden dentro del Caos
El comportamiento mostrado por el oscilador de doble pozo en la sección anterior muestra que el sistema es muy sensible, y parece evolucionar de forma aleatoria. ¿Significa esto que nuestro análisis del sistema debe acabar aquí?. En principio, cualquier aproximación numérica estará sometida a enormes errores en unas pocas iteraciones, mientras que probablemente no existen soluciones analíticas del problema.
Sin embargo, como veremos a continuación, muchas características del sistema se pueden analizar y son de hecho estables. Para ello estudiaremos el sistema desde algunos puntos de vista diferentes, y veremos cómo el oscilador está describiendo un atractor extraño en el espacio de fases. En primer lugar, observemos de nuevo la representación de la posición en función del tiempo en el regimen caótico.
Position vs. Time Plot
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Por un momento, hagamos un análisis naïve de la física del oscilador para imaginar cómo se comporta el sistema. En principio, parece lógico pensar que la máxima distancia por la derecha a la que llega el sistema determinará la distancia máxima a la que llega por la derecha. Si el sistema llega muy lejos hacia la izquierda, tendrá mucha energía para cruzar la barrera de potencial que existe entre los dos imanes y llegar bastante lejos hacia la derecha. Por el contrario, si el sistema no llega muy lejos hacia la izquierda, no tendrá suficiente energía ni siquiera para cruzar la barrera hacia la derecha. Para reproducir esta idea de forma gráfica representaremos el extremo (i+1) frente al extremo (i). Si la interpretación anterior es correcta, ha de existir alguna relación entre extremos sucesivos, y la gráfica resultante habría de tener una forma definida. Es de esperar, sin embargo, que esta representación no lleve a ningún sitio, puesto que en nuestra imagen naïve nos hemos olvidado del forzamiento oscilatorio, que en todo momento varía la energía del sistema, pudiendo hacer que una trayectoria que en principio no fuera a pasar la barrera lo hiciese, o inversamente, quitando energía a una trayectoria que en situación normal atravesaría la barrera. De hecho, dado que el sistema es caótico, no podemos predecir su comportamiento con ninguna precisión. Así que nuestra gráfica estará probablemente fuera de lugar y no mostrará más que una nube sin forma de puntos. Representémosla de todos modos:
¡Este es un resultado inesperado!. El término de forzamiento no ha convertido esta gráfica en una nube de puntos sin forma. Examinando la figura, podemos observar que tiene simetría alrededor del origen. Esta característica era de esperar: un máximo a la izquierda ha de producir el comportamiento exactamente opuesto a un máximo a la derecha. También podemos observar que los valores del extremo [i+1] entre valores del extremo [i] de 0.5 a 1.0 son prácticamente univaluados, y tienen el mismo signo que el extremo [i]. El significado físico de este hecho es que el sistema no tiene suficiente energía para pasar al otro lado. El término de forzamiento puede variar entre -0.4 y 0.4, por lo que no puede dar al sistema la energía suficiente para pasar la barrera.
Otras áreas del sistema son claramente multivaluadas, lo que indica que un pequeño cambio en el valor del extremo [i] puede producir comportamiento muy diferente en el extremo [i+1]. Podemos notar también que existe una región vacía para valores del extremo [i+1] entre 0.4 y 1.0, y entre -0.4 y -1.0. Existen otros rasgos interesantes de esta gráfica, como por ejemplo por qué está formada por curvas casi paralelas que se doblan sobre sí mismas, y qué es lo que produce los vacíos entre estas curvas. Estas preguntas sobrepasan el objetivo de estas páginas, por lo que abandonamos aquí la discusión y presentamos otra perspectiva que ayudará a revelar más características del sistema.
Cuando haya llegado leyendo hasta este punto de la página, el applet del inicio habrá generado una trayetoria muy complicada en el espacio de fases. Como puede observar, no parece haber ningún orden en el sistema. Sin embargo, ya hemos dicho anteriormente que el espacio de fases es en realidad tridimensional, correspondiendo la otra dimensión a la amplitud del forzamiento, que es periódico en el tiempo. Dado que es muy dificil representar un diagrama en tres dimensiones, analizaremos una sección del verdadero espacio de fases. Para ello recogemos el estado del sistema siempre que el término de forzamiento tenga un valor dado. En este sistema, el término de forzamiento se repite con un periodo determinado por la frecuencia de forzamiento. Por ello, podemos usar el valor del tiempo del sistema para obtener estos puntos. En nuestro ejemplo, la frecuencia es 1, por lo que el forzamiento se repite con periodo 2*pi. Por tanto, cada vez que el tiempo sea un multiplo entero de 2*pi, dibujamos un punto en el espacio de fases. Esto da una sección del atractor del sistema. Secciones correspondientes a otros instantes de tiempo son diferentes, pero la información que dan es básicamente la misma. Por ello, limitaremos nuestra discusión al caso de los múltiplos de 2*pi. Ésta es la gráfica:
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Este diagrama recibe el nombre de sección de Poincaré del atractor. De forma sorprendente, el sistema está acotado en una nube de puntos con una forma definida. Si observásemos aparecer la sección, veríamos saltar los puntos por la figura de forma errática, pero manteniéndose acotados en la forma que se observa en la figura. Es fácil ver líneas en el diagrama, pero observando a escala más pequeña, vemos que esas líneas están formadas por líneas más finas, que a su vez están formadas por líneas más finas, y así sucesivamente. Esto se conoce como un atractor extraño en el espacio de fases. Puede demostrarse que todas las trayectorias caen en este atractor, incluso aunque parezcan saltar erráticamente por él.
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Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab
Autor de la versión original: Blair D. Fraser
Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo