Caos in las Ecuaciones de Lorenz
Si r aumenta por encima de 24.74 (siendo sigma=10 y b=2.66667), ninguno de los puntos fijos es ya un atractor de la trayectoria. Sin embargo, puede demostrarse que la trayectoria está acotada, es decir, no puede alejarse mucho de la zona mostrada por el applet, y sin embargo todos los puntos fijos existentes en esta zona acotada del espacio son repulsores.
La trayectoria no tiene ningún sitio hacia donde tender, sino que va de un lado a otro siendo repelida por los tres puntos fijos, y sin embargo acotada en el espacio. Lo único que la trayectoria puede hacer es doblarse sobre sí misma de manera muy compleja. Parece que la curva se corta a sí misma muchas veces, pero esto es sólo una consecuencia de mostrar sólo dos dimensiones. De hecho las leyes de la mecánica impiden que una trayectoria en el espacio de fases se corte a sí misma, por muy larga que sea. La siguiente gráfica muestra una serie temporal de la variable y, donde podemos observar cómo la trayectoria se mueve alrededor de un punto fijo un par de veces, luego pasa al otro, y así sucesivamente, sin tender nunca a un comportamiento predecible a largo plazo.
![]()
El conjunto de puntos en los que la trayectoria se encuentra recibe el nombre de atractor. Dadas las características tan especialmente complejas de este objeto, que ya hemos descrito anteriormente, en este caso particular recibe el nombre de atractor extraño. Toda trayectoria sigue un camino en este atractor, pero el camino concreto que sigue es impredecible, y muy inestable. Este modelo simple de movimiento convectivo en la atmósfera muestra por qué no es posible predecir el tiempo a largo plazo: el más pequeño cambio en las condiciones iniciales puede producir comportamientos a largo plazo extremadamente diferentes (esto se conoce popularmente como el efecto mariposa: el batir de alas de una mariposa en Tokio puede acabar produciendo un huracán en Florida). Pruebe en el applet dos condiciones iniciales muy próximas, y verá cómo divergen muy rápidamente entre sí. La siguiente gráfica representa esto, mostrando dos series temporales con condiciones iniciales ligeramente diferentes:
![]()
Estas dos condiciones son virtualemente indistinguibles al principio, pero finalmente divergen y tienen futuros enteramente diferentes.
Como hemos dicho anteriormente, el sistema de Lorenz es en realidad un sistema tridimensional. La proyección del atractor de Lorenz mostrada en el applet java de esta p&aagina es la más común, pero pierde toda la información contenida en la variable y. A continuación mostramos el atractor de Lorenz en los planos xy e yz:
![]()
![]()
![]()
![]()
Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab
Autor de la versión original: Blair D. Fraser
Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo