Bifurcaciones en Sistemas Continuos
Antes de estudiar con detalle los sistemas dinámicos continuos, debemos desarrollar algunas técnicas para tratar con ellos. Para ello hemos de entender claramente los principales tipos de bifurcaciones.
La mayoría de sistemas continuos de interés tienen varios parámetros. El ejemplo del péndulo estudiado en la sección anterior tiene como parámetro el coeficiente de amortiguamiento b. Se puede comprobar fácilmente que si b es negativo, el punto fijo correspondiente a que el péndulo cuelgue verticalmente hacia abajo es de hecho inestable. Cuando b pasa a ser positivo, el punto fijo se vuelve estable. El momento en que el punto fijo cambia su estabilidad (b=0 en nuestro ejemplo) recibe el nombre de punto de bifurcación. A ambos lados de este punto, el sistema tiene un comportamiento a largo plazo muy diferente.
Las bifurcaciones no están siempre asociadas con puntos fijos; también los ciclos pueden sufrir bifurcaciones. Las bifurcaciones pueden clasificarse en unos pocos tipos. En esta sección estudiaremos los diferentes tipos de bifurcaciones y aprenderemos a reconocer y analizar cada uno de ellos. Se ha de decir que estas clasificaciones se aplican también a sistemas discretos, aunque éstos no serán analizados aquí.
Espacio de Fases
El espacio de fases constituye una manera muy eficaz de observar toda la dinámica de un sistema de una vez. Dicho de manera muy simple, es un espacio que tiene todos los aspectos de la dinámica del sistema en sus ejes. Frecuentemente se trata de un espacio de más de tres dimensiones, pero en muchos casos simples sólo consta de dos o tres dimensiones. Supongamos como ejemplo un sistema físico en que x representa la posición, de manera de la derivada de x es la velocidad. Si el sistema es una ecuación diferencial de segundo orden, como el péndulo de la sección anterior, entonces en cada instante el estado del péndulo queda completamente determinado por su posición y velocidad. Es de notar que la posición por sí sola no determina el estado del sistema: un péndulo colgando verticalmente hacia abajo y en reposo es muy diferente de un péndulo que está oscilando pero que en el instante de tiempo que nos interesa está justo colgando verticalmente hacia abajo mientras pasa por la vertical.Así pues, en los sistemas de segundo orden, el espacio de fases es el que tiene como ejes la posición y la velocidad. En el caso de sistemas descritos por una ecuación diferencial de primer orden, el estado del sistema queda descrito únicamente por una variable (x) y el espacio de las fases es unidimensional (línea de fases). Un método gráfico muy útil consiste en representar en un eje perpendicular a la línea de fases el valor de la derivada de x, que indica el sentido en que varía x a lo largo de la referida línea de fases. Esta construcción muestra de manera muy simple los puntos fijos del sistema, como aquellos en los que la curva correspondiente a la velocidad cruza el eje x (la velocidad es 0). Cuando la curva se encuentra por debajo del eje x (es decir, cuando la velocidad es negativa), la partícula se mueve hacia la izquierda (hacia valores de x cada vez menores). Por el contrario, cuando la curva de la velocidad está por encima del eje x (velocidad positiva), la partícula se mueve hacia la derecha (hacia x mayores). Con esta información se puede analizar la estabilidad de los puntos fijos: si la partícula se mueve hacia el punto fijo a ambos lados de éste, dicho punto fijo es estable. Por el contrario, si la partícula se mueve en la dirección contrario al punto fijo a ambos lados de éste, el punto fijo es inestable.
Consideremos como ejemplo el siguiente sistema dinámico simple no lineal en una dimensión:
Los puntos fijos de este sistema y su estabilidad pueden estudiarse representando conjuntamente la línea de fases y el valor de la derivada temporal para cada valor de x: ![]()
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En este diagrama, las flechas en el eje x indican la dirección del flujo. Los puntos señalados son valores de x para los cuales el flujo es 0, es decir son puntos fijos del sistema. Un punto hueco indica un punto fijo inestable, mientras que un punto sólido indica un punto fijo estable. En los siguientes diagramas seguiremos esta misma convención.
Se ha de notar que no hemos necesitado resolver la ecuación diferencial para obtener el comportamiento del sistema. Dado que el eje y del diagrama anterior es la derivada temporal de x, si sustituimos dicha derivada por y en la ecuación anterior obtenemos una sencilla función de x (una parábola en este caso), cuya representación gráfica nos muestra, tal y como acabamos de ver, las características más importantes del sistema sin haber tenido que resolver ninguna ecuación diferencial. Este método de análisis gráfico es muy utilizado en dinámica no lineal, porque a menudo dice mucho más acerca del sistema que las matemáticas convencionales.
Bifurcación de punto silla
La bifurcación de punto silla es el tipo más simple de bifurcación. Con ella se crean y destruyen puntos fijos. Una bifurcación de punto silla puede ocurrir en sistemas que no tienen puntos fijos. A medida que un parámetro del sistema varía, dos puntos fijos aparecen en la bifurcación, uno estable y el otro inestable. El ejemplo más simple de bifurcación de punto silla viene dado por la ecuación
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A continuación se muestra el comportamiento del sistema, utilizando el método gráfico descrito anteriormente, cuando el parámetro r varía de positivo a negativo. Para valores positivos de r, el flujo es siempre hacia la derecha y no hay puntos fijos. A medida que r decrece y pasa por 0, aparece un punto fijo que sólo es estable por la izquierda. Si r disminuye aún más, este punto fijo se divide en dos, uno estable y el otro inestable.
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Bifurcación transcrítica
Una bifurcación transcrítica no crea ni destruye puntos fijos. Por el contrario, a medida que varía el parámetro r, dos puntos fijos se encuentran e intercambian su estabilidad. Es decir, el punto fijo estable se hace inestable en el punto de bifurcación, y el punto inestable se hace estable. Un ejemplo simple de bifurcación transcrítica viene dado por la ecuación
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Con objeto de mostrar cómo ocurre una bifurcación transcrítica, mostramos a continuación tres diagramas de fases para valores de r negativo, 0 y positivo.
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Bifurcación de horca
La bifurcación de horca es una bifurcación simétrica, y por ello se observa en muchos sistemas que tienen simetría entre una parte positiva y otra negativa. Las bifurcaciones de horca consisten en que un único punto fijo se bifurca en tres, uno de los cuales tiene la misma estabilidad que el original y los otros dos la contraria. Una ecuación simple que da lugar a una bifurcación de horca es
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Para valores de r negativo, 0 y positivo, el punto fijo existente en x=0 se bifurca en tres.
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Las bifurcaciones de horca pueden clasificarse en dos grupos importantes: subcríticas y supercríticas. La mostrada anteriormente es una bifurcación supercrítica, donde un punto fijo estable se bifurca en dos puntos fijos estables y uno inestable. Una bifurcación subcrítica es análoga a la anterior pero con las estabilidades y el sentido cambiados: dos puntos fijos inestables y uno estable colapsan en un punto fijo inestable.
De hecho, esta no es la primera vez que nos encontramos en estas páginas con una bifurcación de horca. Las bifurcaciones que sufre la aplicación logística son bifuraciones de horca. En la aplición logística los puntos fijos inestables no se ven, porque errores numéricos introducidos por el ordenador provocan que cualquier órbita escape de ellos. Sin embargo, puede demostrarte matemáticamente que las bifurcaciones existentes son de horca.
Bifurcación de Hopf
Las bifurcaciones de Hopf ocurren en osciladores no lineales. En ellas, un punto fijo se bifurca en un ciclo, o bien un ciclo colapsa en un punto fijo. Estas bifurcaciones constituyen un tema más avanzado, y las estudiaremos mediante ejemplos particulares en sistemas que serán descritos en las restantes secciones del Laboratorio No Lineal.
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Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab
Autor de la versión original: Blair D. Fraser
Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo