Puntos Fijos en las Ecuaciones de Lorenz
El espacio de fases de las ecuaciones de Lorenz tiene tres dimensiones: x,y,z. Como hemos visto en secciones anteriores, puede representarse el comportamiento dinámico de un sistema mediante una trayectoria en dicho espacio de fases. A continuación presentamos un applet java que simula el comportamiento de las ecuaciones de Lorenz y lo representa en una proyección bidimensional (en el plano xz) del espacio de fases. En la dirección horizontal se representa la variable x y en la vertical la variable z. El applet permite elegir el estado inicial del sistema, así como los tres parámetros de control sigma, r y b.
Puede observarse que para los valores del conjunto de parámetros sigma, r y b que el applet tiene por defecto (sigma=10, r=14, y b=2.66667), el comportamiento del sistema es estable, de forma que en el tiempo tiende a uno de dos puntos fijos, normalmente llamados C+ y C-. Puede comprobar, variando el estado inicial del sistema (pero no los parámetros de control sigma, r y b), que en unos casos el sistema tiende a uno de los dos puntos fijos y en otros casos al otro.
La posición exacta de los puntos fijos C+ y C- varía a medida que los parámetros de control cambian (siempre que los cambios no sean muy grandes, como veremos en la siguiente página). El sistema tiene otro punto fijo en el origen de coordenadas del espacio de fases (x=0, y=0, z=0). Este punto no cambia de posición con los parámetros, pero es inestable. Para verlo, situe las condiciones iniciales en (0,0,0) y verá que el sistema no se mueve de ese punto. Sin embargo, si elige como condiciones iniciales (0.2,0,0), el sistema tardará en moverse, pero acabará escapando del origen y convergiendo a C+ o C-. Debido a que todas las trayectorias que empiezan cerca del origen acaban escapando de él, este punto recibe el nombre de repulsor. Por el motivo contrario, C+ y C- reciben el nombre de atractores.
Como hemos mencionado anteriormente, C+ y C- se mueven a medida que los parámetros cambian. El parámetro r se utiliza habitualmente para controlar este hecho. Intente por ejemplo disminuir r de una unidad en una unidad. Verá que los puntos fijos se acercan más y más entre sí hasta que finalmente, cuando r se hace más pequeño que 1, los dos puntos fijos estables se encuentran en el origen y permanecen allí. Es decir, por debajo de r=1 el origen es un punto fijo estable, el único. De hecho, hemos seguido el procedimiento en sentido contrario al que se hace habitualmente. Si el comportamiento del sistema se estudia para r crecientes desde 0, se observa cómo el punto estable en el origen se bifurca en dos puntos fijos estables y uno inestable. Como hemos visto en una sección anterior, este fenómeno se conoce como bifurcación de horca, y tiene lugar para r=1.
Si el parámetro de control se hace muy grande (en concreto, mayor que 24.74, para sigma=10 y b=2.66667) el comportamiento del sistema cambia radicalmente. Los puntos fijos C+ y C- pierden su estabilidad, pero las trayectorias no divergen, sino que se mantienen acotadas en el espacio. Este comportamiento será estudiado en la siguiente sección.
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Esta es una versión adaptada de The Non-Linear Lab
Autor de la versión original: Blair D. Fraser
Páginas traducidas y adaptadas por: Jordi García Ojalvo